纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是这俩数学证明方式 ,常用于证明命题(命题是对某个问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了有些有些领域(比如数学分析)的基础,就说数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法这俩非常简单。时候亲们儿愿意 证明某个命题对于自然数n都成立,没有 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下底下的四个 步骤。它们实际上是原应,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。倘若,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲们儿挑选n的倒下会是原应n + 1的倒下,倘若推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲们儿来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你这俩公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,须要算出1到1150的累加,不能回家。于是高斯想出了底下的方式 。天才有的是被逼出来的么?)

亲们儿的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,倘若命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    没有 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。倘若,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

倘若,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指四个 计算机多多线程 调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多多线程 四个 不能达到的终止条件(base case)。比如下面的多多线程 ,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多多线程 中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。愿意 得到f(n),须要计算f(n-1);愿意 f(n-1),须要计算f(n-2)……直到f(1)。时候亲们儿时候知道了f(1)的值,亲们儿就可我不要 能填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多多线程 实现。使用递归设计多多线程 的时候,亲们儿设置base case,并假设亲们儿会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲们儿只关注初始和衔接,而不须要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据特征实现的。正如亲们儿底下所说的,计算f(n),须要f(n-1);计算f(n-1),须要f(n-2)……。亲们儿在寻找到f(1)时候,会有有些空缺: f(n-1)的值哪几种? f(n-2)的值是哪几种? …… f(2)的值是哪几种?f(1)的值是哪几种? 亲们儿的第四个 问题是f(n)是哪几种,结果,你这俩问题引出下四个 问题,再下四个 问题…… 每个问题的解答都依赖于下四个 问题,直到亲们儿找到第四个 可我不要 能回答的问题: f(1)的值是哪几种?

亲们儿用栈来保存亲们儿在探索过程中的问题。C语言中,函数的调用时候是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,就说很自然的,递归用栈来保存亲们儿的“问题” 。

亲们儿假设栈向下增长。首先,亲们儿调用f(1150),没有 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(1150)暂停执行,并记录当前的情况,比如n的值,当前执行到的位置。以后 调用f(99),栈增加四个 frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

倘若返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(1150),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(1150)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也可我不要 能自行手动实现栈。从前 可我不要 能得到更好的运行速率单位。

总结

数学归纳法

递归

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